Чтобы найти неопределенный интеграл ∫ xsqrt(7(x²+4))dx, мы можем сделать подходящую замену переменной. Обратим внимание, что под корнем есть выражение, которое можно представить в виде (x²+4). Попробуем сделать замену u = x²+4.
Шаги решения:
1. Сделаем замену переменной: u = x²+4. Тогда du = 2xdx и dx = du/(2x).
2. Подставим z=u/(x²) в неопределенный интеграл: ∫ sqrt(7(x²+4))xdx = ∫ sqrt(7u)x/2xdu = ∫ (sqrt(7u)/2)du.
3. Упростим неопределенный интеграл, разделив x на 2 внутри интеграла.
4. Теперь проинтегрируем ∫ (sqrt(7u)/2)du по переменной u. Это может быть осуществлено путем применения формулы интегрирования для степенной функции.
5. Интегрирование дает нам: (1/3)(sqrt(7u^3))/2 + C, где С – произвольная постоянная.
6. Вернемся к исходной переменной x, заменив u обратно на x²+4.
7. Ответ: (1/3)(sqrt(7(x²+4))²)/2 + C, где С – произвольная постоянная.
Таким образом, неопределенный интеграл ∫ xsqrt(7(x²+4))dx равен (1/6)(sqrt(7(x²+4))² + C, где С – произвольная постоянная.