Для рассматриваемого функционального ряда выразим его общий член:
aₙ = (x+4)ⁿ/(n²ln(n))
Для исследования области сходимости воспользуемся признаком Даламбера.
Для этого рассмотрим отношение соседних членов ряда:
rₙ = |aₙ₊₁/aₙ| = |(x+4)^(n+1)/((n+1)²*ln(n+1)) * (n²*ln(n))/((x+4)ⁿ)| = |(x+4)/(n+1)*ln(n)/ln(n+1)|
Мы хотим найти нижнюю границу области сходимости, что означает, что rₙ < 1 при некоторых n. Упростим полученное выражение: rₙ = |(x+4)/(n+1)*ln(n)/ln(n+1)| = |(x+4)*ln(n)/(n+1)*1/ln(n+1)| = |(x+4)*ln(n)/(1+1/n)*1/ln(n)| = |(x+4)/(1+1/n)| Учитывая ограничения для функции логарифма (ln(n) > 0), получаем:
|(x+4)/(1+1/n)| < 1 Для определения нижней границы области сходимости рассмотрим предел этого выражения при n, стремящемся к бесконечности: lim((x+4)/(1+1/n)) = x+4 Таким образом, для области сходимости функционального ряда выполняется условие: |x+4| < 1 То есть, нижняя граница области сходимости данного ряда -1 < x+4 < 1, или -5 < x < -3. В итоге, функциональный ряд сходится при -5 < x < -3.