Область определения функций можно найти, изучив значения, при которых функции являются вещественными числами.
Заметим, что функция знаменателя, f(x, y) = x^2 + y^2 – 5, представляет собой сумму квадратов переменных x и y минус 5. Так как нам нужно избежать отрицательных значений внутри квадратного корня (что приведет к комплексным числам), мы должны иметь f(x, y) ≥ 0.
Таким образом, область определения будет состоять из всех пар (x, y), для которых x^2 + y^2 – 5 ≥ 0.
Шаги решения:
1. Решим неравенство x^2 + y^2 – 5 ≥ 0.
Мы можем решить это неравенство, используя геометрический подход. Заметим, что x^2 + y^2 – 5 ≥ 0 представляет собой неравенство для точек, которые находятся на или внутри окружности радиусом sqrt(5) с центром в начале координат.
2. Обозначим эту окружность как C и найдем ее границы.
Чтобы найти границы окружности C, можем использовать равенство x^2 + y^2 – 5 = 0.
Это представляет собой уравнение окружности радиусом sqrt(5) с центром в начале координат.
Применим извлечение квадратного корня к обоим частям, чтобы выразить y:
y = ±sqrt(5 – x^2).
3. Отбросим решения экстремальных точек окружности C.
Область определения функции не включает точки, где знаменатель обращается в ноль.
Поэтому необходимо отбросить значения (x, y), которые удовлетворяют уравнению знаменателя x^2 + y^2 – 5 = 0.
4. Итак, область определения функции z = 1/sqrt(x^2 + y^2 – 5) состоит из всех точек (x, y), которые лежат внутри или на границе окружности C и не удовлетворяют уравнению окружности.
Таким образом, область определения функции z = 1/sqrt(x^2 + y^2 – 5) – это все точки внутри или на границе окружности радиусом sqrt(5) с центром в начале координат, за исключением точек на самой окружности.