Дано линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
y’ = -2xy + x * e^(-x^2) (1)
а также начальное условие:
y(1) = e
1. Найдем общее решение уравнения (1):
Сначала решим однородное уравнение:
dy/dx = -2xy (2)
Это уравнение можно решить методом разделения переменных:
dy/y = -2x dx
Проинтегрируем обе части уравнения:
∫(1/y)dy = ∫(-2x)dx
ln|y| = -x^2 + C1, где C1 – постоянная интегрирования
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.
Заметим, что f(x) = x * e^(-x^2) является частным решением уравнения (1). Поэтому, предположим, что y_p = A(x) * x * e^(-x^2), где A(x) – функция, которую нужно найти.
Теперь подставим это предположение в исходное уравнение (1):
A'(x) * x * e^(-x^2) + A(x) * (-2x) * e^(-x^2) + A(x) * x * (-2x) * e^(-x^2) = x * e^(-x^2)
A'(x) * x * e^(-x^2) – A(x) * 2x * e^(-x^2) = x * e^(-x^2)
A'(x) – 2A(x) = 1
Решим это неоднородное линейное уравнение:
Сначала найдем общее решение однородного уравнения:
dy/dx – 2y = 0
Решением однородного уравнения будет:
y_h = Ce^(2x), где C – произвольная постоянная
Теперь используем метод вариации постоянной для поиска частного решения:
Предположим, что A(x) = C(x)e^(2x), где C(x) – функция, которую нужно найти.
Теперь возьмем производную от предположенного A(x):
A'(x) = C'(x)e^(2x) + 2C(x)e^(2x)
Подставим эти значения в неоднородное уравнение:
C'(x)e^(2x) + 2C(x)e^(2x) – 2C(x)e^(2x) = 1
C'(x)e^(2x) = 1
C'(x) = e^(-2x)
Проинтегрируем обе части уравнения:
∫C'(x)dx = ∫e^(-2x)dx
C(x) = ∫e^(-2x)dx
C(x) = (-1/2)e^(-2x) + C2, где C2 – постоянная интегрирования
Теперь найдем A(x):
A(x) = C(x)e^(2x)
A(x) = ((-1/2)e^(-2x) + C2)e^(2x)
A(x) = (-1/2) + C2e^(2x)
Итак, частное решение неоднородного уравнения будет:
y_p = A(x) * x * e^(-x^2)
y_p = (-1/2)x*e^(-x^2) + C2xe^(-x^2)
Теперь объединим общее и частное решение:
y(x) = y_h + y_p
y(x) = Ce^(2x) + (-1/2)x*e^(-x^2) + C2xe^(-x^2)
где C и C2 – произвольные постоянные