Дано дифференциальное уравнение: xy’ – 5y = x^6e^x.
Для начала приведем уравнение к линейному виду, избавившись от производной, переместив все члены с y на одну сторону:
xy’ – 5y = x^6e^x.
Раскроем производную (y’):
y’ = (x^6e^x + 5y) / x.
Далее, для решения данного уравнения можно использовать метод вариации постоянной.
1. Найдем общее решение однородного уравнения (приравняем правую часть к нулю):
xy’ – 5y = 0.
Положим y = x^k и найдем соответствующее значение k:
x(x^k)’ – 5x^k = 0,
(x^k + 1) – 5x^k = 0,
x^k(x – 5) = 0.
Если x – 5 ≠ 0, тогда x^k = 0, что возможно только при k < 0. Корень k = 0 не интересен, так как в таком случае получим тривиальное решение y = 0. Итак, k < 0. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y_h = Cx^k, где C - произвольная постоянная. 2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид: y_p = u(x)e^x, где u(x) - некоторая функция, которую необходимо определить. Подставим y_p в неоднородное уравнение: x[u'(x)e^x + u(x)e^x] - 5[u(x)e^x] = x^6e^x. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые: xu'(x)e^x + xu(x)e^x - 5u(x)e^x = x^6e^x. xu'(x)e^x = x^6e^x. Сократим e^x: xu'(x) = x^6. u'(x) = x^5. Решаем полученное уравнение для u(x): u(x) = ∫ x^5 dx = x^6/6 + C_1, где C_1 - произвольная постоянная. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y_p = (x^6/6 + C_1)e^x. 3. Теперь получим общее решение неоднородного уравнения, сложив частное и общее решение однородного уравнения: y = y_h + y_p = Cx^k + (x^6/6 + C_1)e^x, где C, C_1 - произвольные постоянные, k < 0. Это и есть окончательное общее решение данного дифференциального уравнения.