Первым шагом решим однородное уравнение y” + 4y = 0. Его характеристическое уравнение равно λ^2 + 4 = 0. Решая это уравнение, получаем два комплексных корня: λ = ±2i.
Следующий шаг – найти общее решение однородного уравнения. Общее решение имеет вид y_h(t) = c1*cos(2t) + c2*sin(2t), где c1 и c2 – произвольные постоянные.
Затем найдем частное решение неоднородного уравнения. Рассмотрим частное решение в виде y_p(t) = A*sin(2t) + B*cos(2t), где A и B – неизвестные коэффициенты.
Подставим частное решение в неоднородное уравнение и найдем A и B:
(A*sin(2t) + B*cos(2t))” + 4*(A*sin(2t) + B*cos(2t)) = sin(2t).
Найденные A и B подставим в частное решение и получим окончательное частное решение.
Наконец, окончательное решение дифференциального уравнения будет иметь вид y(t) = y_h(t) + y_p(t), где y_h(t) – общее решение однородного уравнения, y_p(t) – частное решение неоднородного уравнения.
Подставим начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = -2 в окончательное решение и найдем значения констант c1, c2, A и B.
Зная значения констант, можем записать окончательное решение дифференциального уравнения.