Данная последовательность представляет собой сумму произведений последовательных членов, начиная с 2 и увеличивая множитель на 2 в каждом следующем члене. Мы можем записать каждый член в виде (k cdot (k+2)), где (k) – номер члена последовательности.
На основе этого, мы можем записать общую формулу ряда с помощью символа суммы (sum):
(sum_{k=1}^{n} k cdot (k+2))
Переходим к решению:
Шаг 1: Раскроем скобки в выражении (k cdot (k+2)):
(k^2 + 2k)
Шаг 2: Заменим (k^2) на его общую формулу (n cdot (n + 1) cdot (2n + 1) / 6):
(sum_{k=1}^{n} frac{k cdot (k + 1) cdot (2k + 1)}{6} + sum_{k=1}^{n} frac{k cdot 2}{2})
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:
(frac{1}{6} left( sum_{k=1}^{n} k^3 + sum_{k=1}^{n} k^2 + sum_{k=1}^{n} k right) + frac{2}{2} sum_{k=1}^{n} k)
Шаг 4: Заменим суммы на их общие формулы:
(frac{1}{6} left( frac{n^2 cdot (n+1)^2}{4} + frac{n cdot (n+1) cdot (2n+1)}{6} + frac{n cdot (n+1)}{2} right) + n cdot (n+1))
Шаг 5: Упростим и сократим выражение:
(frac{n cdot (n+1) cdot (n+2)}{3})