На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения данной задачи мы будем использовать теорию остатков и мощность остаточной последовательности.
1) Заметим, что число 2159 является ненулевым остатком при делении на 1000 (2159 = 2*1000 + 159).
2) Теперь рассмотрим степень числа 2159. Для нахождения последних трех цифр этой степени, нам необходимо найти остаток от деления этой степени на 1000.
3) Воспользуемся теорией остатков: (a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m. Это позволяет нам уменьшить большие числа и работать с их остатками.
4) Найдем остаток от деления 18409 на 100, чтобы уменьшить вычислительные затраты: 18409 mod 100 = 9.
5) Теперь рассмотрим остаточную последовательность степеней числа 2159:
2159^1 mod 1000 = 159 (остаток от деления на 1000);
2159^2 mod 1000 = (2159^1 mod 1000)^2 mod 1000 = 159^2 mod 1000 = 281;
2159^3 mod 1000 = (2159^2 mod 1000) * (2159^1 mod 1000) mod 1000 = 281 * 159 mod 1000 = 879;
2159^4 mod 1000 = (2159^2 mod 1000)^2 mod 1000 = 281^2 mod 1000 = 361;
2159^5 mod 1000 = (2159^4 mod 1000) * (2159^1 mod 1000) mod 1000 = 361 * 159 mod 1000 = 799;
и так далее…
6) Продолжим находить остатки от деления:
2159^6 mod 1000 = (2159^3 mod 1000) * (2159^3 mod 1000) mod 1000 = 879 * 879 mod 1000 = 641;
2159^7 mod 1000 = (2159^6 mod 1000) * (2159^1 mod 1000) mod 1000 = 641 * 159 mod 1000 = 119;
2159^8 mod 1000 = (2159^4 mod 1000) * (2159^4 mod 1000) mod 1000 = 361 * 361 mod 1000 = 321;
2159^9 mod 1000 = (2159^8 mod 1000) * (2159^1 mod 1000) mod 1000 = 321 * 159 mod 1000 = 719;
и так далее…
7) Продолжая процесс, мы можем заметить, что остаточная последовательность начинает повторяться: 159, 281, 879, 361, 799, 641, 119, 321, 719…
8) Поскольку наша цель – найти последние три цифры числа 2159^18409, мы можем найти остаток от деления 9 на период остаточной последовательности (т.е. период равен 10). Таким образом, мы должны найти остаток от деления числа 9 на 10.
9) Остаток от деления 9 на 10 равен 9.
10) Следовательно, последние три цифры числа 2159^18409 равны последним трем цифрам встречающегося остатка в остаточной последовательности, который соответствует остатку 9. Таким образом, ответ составляют цифры 719.
