Для решения данной задачи можно использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Шаги решения:
1. Вычислим математическое ожидание и дисперсию для биномиального распределения:
Математическое ожидание (среднее значение): μ = n * p = 280 * 0.12 = 33.6
Дисперсия: σ^2 = n * p * (1 – p) = 280 * 0.12 * (1 – 0.12) ≈ 29.4656
Стандартное отклонение: σ = √(σ^2) ≈ √(29.4656) ≈ 5.4283
2. Переформулируем условие задачи с использованием нормальной аппроксимации:
Найдем вероятность P(a ≤ S ≤ b) с помощью нормального распределения с параметрами μ и σ.
3. Приведем границы a и b к нормированному виду:
Для границы a: z_a = (a – μ) / σ = (9 – 33.6) / 5.4283 ≈ -4.54
Для границы b: z_b = (b – μ) / σ = (24 – 33.6) / 5.4283 ≈ -1.77
4. Используем таблицу нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятности P(Z ≤ z_b) и P(Z ≤ z_a),
где Z – стандартная нормальная случайная величина.
P(Z ≤ -1.77) ≈ 0.0384
P(Z ≤ -4.54) ≈ 0.00002
5. Наконец, находим приближенное значение искомой вероятности P(a ≤ S ≤ b) путем вычитания этих вероятностей:
P(a ≤ S ≤ b) ≈ P(Z ≤ z_b) – P(Z ≤ z_a) ≈ 0.0384 – 0.00002 ≈ 0.03838
Полученное значение 0.03838 является приближенной вероятностью того, что число успехов S будет лежать в пределах от 9 до 24 при схеме из 280 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0.12.