Для начала определим направляющий вектор прямой L. Для этого возьмем коэффициенты t при x и y и получим (2, 6).
Так как мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через точку M и образующей угол π/4 с прямой L, мы можем использовать следующий подход:
1. Найдем направляющий вектор прямой, образующей угол π/4 с прямой L. Для этого воспользуемся формулой поворота вектора против часовой стрелки на угол α: (x’, y’) = (x * cos(α) – y * sin(α), x * sin(α) + y * cos(α)). В данном случае α = π/4.
Применяя формулу поворота, получим вектор (x’, y’) = (2 * cos(π/4) – 6 * sin(π/4), 2 * sin(π/4) + 6 * cos(π/4)). Вычисляя значения, получаем (x’, y’) = (sqrt(2) – 3sqrt(2), sqrt(2) + 3sqrt(2)).
Теперь у нас есть направляющий вектор прямой, образующей угол π/4 с прямой L, и проходящей через точку M.
2. Теперь у нас есть направляющий вектор прямой, проходящей через точку M(-3, 2), а также координаты этой точки. Используем точку-направляющий вектор формы уравнения прямой: (x – x1) / dx = (y – y1) / dy.
Подставим значения x1 = -3, y1 = 2, dx = sqrt(2) – 3sqrt(2), dy = sqrt(2) + 3sqrt(2) и получим:
(x + 3) / (sqrt(2) – 3sqrt(2)) = (y – 2) / (sqrt(2) + 3sqrt(2)).
3. Приведем полученное уравнение к более простому виду, умножив обе части на (sqrt(2) – 3sqrt(2))(sqrt(2) + 3sqrt(2)) = -16. Таким образом, окончательное уравнение будет иметь вид:
(x + 3)(-16) = (y – 2)(-16),
-16x – 48 = -16y + 32,
16x + 16y – 80 = 0.
Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через точку M(-3, 2) и образующей угол π/4 с прямой L, это 16x + 16y – 80 = 0.