Для решения этой задачи, мы должны найти вектор x, который имеет длину, равную (sqrt{5}) и коллинеарен вектору a(-12, 5, 6), а также образует тупой угол с вектором b(4, 5, -1).
Шаги решения:
1. Найдем длину вектора a: (left|aright| = sqrt{(-12)^2 + 5^2 + 6^2} = sqrt{185}).
2. Найдем единичный вектор, коллинеарный вектору a, разделив вектор a на его длину: (u = frac{a}{left|aright|} = left(frac{-12}{sqrt{185}}, frac{5}{sqrt{185}}, frac{6}{sqrt{185}}right)).
3. Вектор x будет иметь длину (sqrt{5}), поэтому умножим вектор u на (sqrt{5}): (x = sqrt{5} cdot u = left(frac{-12 sqrt{5}}{sqrt{185}}, frac{5 sqrt{5}}{sqrt{185}}, frac{6 sqrt{5}}{sqrt{185}}right)).
4. Чтобы вектор x образовывал тупой угол с вектором b, их скалярное произведение должно быть отрицательным: (x cdot b < 0).
5. Вычислим скалярное произведение векторов x и b: (x cdot b = left(frac{-12 sqrt{5}}{sqrt{185}} cdot 4right) + left(frac{5 sqrt{5}}{sqrt{185}} cdot 5right) + left(frac{6 sqrt{5}}{sqrt{185}} cdot -1right)).
6. Решим неравенство (x cdot b < 0) для найденного скалярного произведения.
7. Заметим, что скалярное произведение x и b равно (-frac{80 sqrt{5}}{sqrt{185}} + frac{25 sqrt{5}}{sqrt{185}} - frac{6 sqrt{5}}{sqrt{185}} = frac{-55 sqrt{5}}{sqrt{185}}).
8. Учитывая, что (sqrt{185}) и (sqrt{5}) положительные, чтобы получить отрицательный результат, (-55) должен быть отрицательным.
9. Таким образом, вектор x будет удовлетворять заданным условиям, если (sqrt{5} (frac{-12}{sqrt{185}}, frac{5}{sqrt{185}}, frac{6}{sqrt{185}})) направлен в противоположную сторону от вектора b.