Для нахождения величины и направления наибольшего изменения функции u(M) = xyz в точке M₀(2, 1, 0), нам потребуется вычислить градиент функции и подставить вектор градиента в данную точку.
Шаг 1: Найдем градиент функции u(M):
Градиент функции – это вектор, составленный из всех частных производных функции по каждой из переменных.
∇u(M) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)
Для данной функции u(M) = xyz, частная производная по x будет равна yz:
∂u/∂x = yz
Частная производная по y будет равна xz:
∂u/∂y = xz
Частная производная по z будет равна xy:
∂u/∂z = xy
Таким образом, градиент функции u(M) равен:
∇u(M) = (yz, xz, xy)
Шаг 2: Подставим координаты точки M₀(2, 1, 0) в градиент ∇u(M):
∇u(M₀) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (1*0, 2*0, 2*1) = (0, 0, 2)
Шаг 3: Вычислим величину наибольшего изменения функции в точке M₀:
Величина наибольшего изменения функции равна длине вектора градиента в данной точке:
|∇u(M₀)| = sqrt((∂u/∂x)² + (∂u/∂y)² + (∂u/∂z)²) = sqrt(0² + 0² + 2²) = sqrt(4) = 2
Шаг 4: Определим направление наибольшего изменения функции:
Направление наибольшего изменения соответствует направлению вектора градиента в данной точке M₀:
|∇u(M₀)| = (0, 0, 2)
Таким образом, в точке M₀(2, 1, 0) величина наибольшего изменения функции u(M) = xyz равна 2, а направление наибольшего изменения – вдоль оси z.