Предположим, что уравнение искомой плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0, где (a, b, c) – вектор нормали к плоскости, а (x, y, z) – координаты произвольной точки на плоскости.
1. Найдем координаты вектора нормали к плоскости p. Плоскость p имеет уравнение x + z – 1 = 0, т.е. вектор нормали равен (1, 0, 1).
2. Запишем уравнение плоскости в общем виде: (1, 0, 1)·(x, y, z) + d = 0, где · обозначает скалярное произведение.
3. Найдем угол между вектором нормали к искомой плоскости (a, b, c) и вектором l. Для этого воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов: (a, b, c)·(1, -1, 0) = |(a, b, c)||1, -1, 0|cosθ, где θ – искомый угол, |…| – модуль вектора.
4. Заметим, что |(a, b, c)| = √(a^2 + b^2 + c^2) и |1, -1, 0| = √2. Подставим значения в формулу и упростим: a – b = √2cosθ.
5. По условию задачи угол между плоскостью p и искомой плоскостью равен 45° (π/4 радиан): √2cosθ = cos(π/4) = 1/√2.
6. Из уравнения a – b = √2cosθ получаем a – b = 1/√2.
7. Запишем уравнение плоскости с учетом определенных значений: (a, b, c)·(x, y, z) + d = 0 превращается в (a, b, c)·(x, y, z) + (1/√2) = 0.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;1) параллельно вектору l={1; -1; 0} и составляющей угол 45° с плоскостью p: x+z-1=0, имеет вид:
(a, b, c)·(x, y, z) + (1/√2) = 0, где a – b = 1/√2 и вектор (a, b, c) параллелен вектору l={1; -1; 0}.