Прежде чем определить вектор e, перпендикулярный векторам a и b, нам нужно найти проекцию вектора c на ось ординат.
Пусть c = {c1; c2; c3}. Так как проекция вектора c на ось ординат равна 6, значит c2 = 6.
Теперь перейдем к поиску вектора e. Вектор e должен быть перпендикулярен векторам a и b.
Вектор e должен быть ортогонален как a, так и b. Это означает, что скалярное произведение e и a должно быть равно нулю: e * a = 0, и скалярное произведение e и b также должно быть равно нулю: e * b = 0.
У нас есть два уравнения:
e1*(-1) + e2*0 + e3*1 = 0 (e * a = 0)
e1*1 + e2*(-2) + e3*2 = 0 (e * b = 0)
Можно записать эти уравнения в матричной форме:
-1 0 1 e1 0
1 -2 2 * e2 = 0
e3 0
Чтобы решить эту систему уравнений, представим матрицу коэффициентов системы в виде A, а вектор e – в виде x. Тогда получаем Ax = 0.
Очевидно, что нулевой вектор x = {0; 0; 0} всегда является решением этого уравнения. Однако вектор e должен иметь единичную длину, поэтому ищем ненулевое решение.
Для этого решим СЛАУ Ax = 0 нахождением ядра матрицы A.
Решив данную СЛАУ, получим набор решений:
e1 = 1
e2 = 1
e3 = 1
Таким образом, вектор e = {1; 1; 1} будет перпендикулярным к векторам a и b, а также будет удовлетворять условию проекции вектора c на ось ординат равной 6.