Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый десятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые необходимо заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более, чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Для оценки необходимого количества договоров, чтобы вероятность отклонения доли страховых случаев от 0,1 не превышала 0,01, мы можем использовать неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины X с информацией о ее математическом ожидании и дисперсии можно утверждать, что вероятность отклонения от математического ожидания на определенную величину не превышает дисперсию деленную на квадрат предела отклонения:

P(|X – E(X)| >= k) <= Var(X) / k^2 Если мы запишем долю страховых случаев как случайную величину X, то математическое ожидание E(X) будет равно 0.1 (так как каждый десятый договор является страховым случаем), а дисперсия Var(X) будет равна E(X) * (1 - E(X)) / n, где n - количество договоров. Мы хотим найти n - количество договоров, при котором вероятность отклонения доли страховых случаев от 0.1 не более чем на 0.01 (по абсолютной величине) будет равна 0.9. То есть, мы хотим найти такое n, при котором P(|X - 0.1| >= 0.01) <= 0.1. P(|X - 0.1| >= 0.01) = Var(X) / 0.01^2 <= 0.1 E(X) * (1 - E(X)) / n <= 0.1 * 0.01^2 E(X) * (1 - E(X)) / 0.0001 <= 0.1 Решив данное неравенство, получаем приближенное значение n, равное 980. Однако, мы также можем использовать следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа для уточнения этого результата. Согласно следствию из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, для достаточно большого числа независимых испытаний (n), вероятность отклонения относительной частоты (доли) от ожидаемого значения будет примерно равна вероятности отклонения стандартной нормально распределенной случайной величины от 0. Для нашей задачи, мы можем использовать формулу вероятности из стандартного нормального распределения, чтобы найти количество договоров: P(|X - 0.1| >= 0.01) = 2 * (1 – P(-0.01 <= Z <= 0.01)) где Z - стандартная нормально распределенная случайная величина. Вычислив данную вероятность равной 0.1, мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькуляторы для обратной функции распределения, чтобы найти значение Z. Таким образом, мы можем уточнить результат, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа и таблицы нормального распределения.