Дано уравнение:
^2 + ^2 = 2,
где – неизвестная переменная, – константа.
Наша задача – найти один из корней данного уравнения с точностью до = 0,005, используя метод половинного деления, метод хорд и метод Ньютона.
1. Метод половинного деления:
– Перепишем уравнение в виде:
( ) = ^2 + ^2 – 2 = 0.
– Найдем интервал, содержащий корень. Подставим некоторые значения в уравнение и проверим знак функции ( ):
(−2) = (−2)^2 + ^2 – 2 = 2 + ^2 – 2 > 0,
(0) = (0)^2 + ^2 – 2 = ^2 – 2 < 0.
Значит, интервалом, содержащим корень, является (−2, 0).
- Применим метод половинного деления:
- Инициализируем переменные = −2, = 0.
- Найдем середину интервала: = ( + )/2.
- Вычислим значение функции ( ) = ^2 + ^2 - 2:
- Если ( ) = 0 или | − | < , то мы нашли корень.
- Если ( ) > 0, то корень находится между и , поэтому обновляем значение = .
– Если ( ) < 0, то корень находится между и , поэтому обновляем значение = .
- Повторяем шаги 3-4 до достижения точности .
2. Метод хорд:
- Перепишем уравнение в виде:
( ) = ^2 + ^2 - 2 = 0.
- Найдем интервал, содержащий корень. Подставим некоторые значения в уравнение и проверим знак функции ( ):
(−2) = (−2)^2 + ^2 - 2 = 2 + ^2 - 2 > 0,
(−1) = (−1)^2 + ^2 – 2 = 1 + ^2 – 2 < 0.
Значит, интервалом, содержащим корень, является (−2, −1).
- Применим метод хорд:
- Инициализируем переменные = −2, = −1.
- Найдем вторую точку пересечения хорды с осью : = − ( − ) * ( ) / ( ( ) − ( )).
- Вычислим значение функции ( ) = ^2 + ^2 - 2:
- Если | ( )| < , то мы нашли корень.
- Если ( ) > 0, то новым интервалом становится ( , ).
– Если ( ) < 0, то новым интервалом становится ( , ).
- Повторяем шаги 3-4 до достижения точности .
3. Метод Ньютона:
- Перепишем уравнение в виде:
( ) = ^2 + ^2 - 2 = 0.
- Найдем производную функции: ′( ) = 2 .
- Выберем начальное приближение ₀.
- Применим метод Ньютона:
- Вычислим новое приближение к корню: ₁ = ₀ - ( ₀) / ′( ₀).
- Если | ₁ - ₀| < , то мы нашли корень.
- Иначе, присваиваем ₀ новое значение ₀ = ₁ и повторяем шаги 5-6 до достижения точности .
В итоге, используя указанные методы, можно отделить один из корней уравнения ^2 + ^2 = 2 и уточнить его с точностью до = 0,005.