Дано, что в партии из 9 телевизоров 3 из них неисправны, а запрашивается закон распределения случайной величины $X$ – числа неисправных телевизоров среди двух купленных.
Заметим, что $X$ может принимать значения от 0 до 2 включительно, так как не может быть больше двух неисправных телевизоров среди двух купленных.
Чтобы составить закон распределения, рассмотрим все возможные комбинации, которые можно получить при покупке двух телевизоров из партии. Есть три варианта:
1) Оба телевизора исправны
2) Один телевизор исправен, а другой – нет
3) Оба телевизора неисправны
Посчитаем количество комбинаций для каждого из этих трех случаев.
1) Оба телевизора исправны:
Из 6 исправных телевизоров мы выбираем 2 для покупки сочетаниями.
Количество сочетаний равно $C_2^6 = frac{6!}{2!(6-2)!} = 15$.
2) Один телевизор исправен, а другой – нет:
Из 3 неисправных телевизоров мы выбираем 1 для покупки сочетаниями.
Из 6 исправных телевизоров мы выбираем 1 для покупки сочетаниями.
Количество сочетаний для каждого из этих случаев равно $C_1^3 = frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$ и $C_1^6 = frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$ соответственно.
Тогда общее количество комбинаций в этом случае равно $3 cdot 6 = 18$.
3) Оба телевизора неисправны:
Из 3 неисправных телевизоров мы выбираем 2 для покупки сочетаниями.
Количество сочетаний равно $C_2^3 = frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
Теперь, зная количество комбинаций для каждого значения $X$, можно составить закон распределения:
$P(X=0) = frac{15}{36} = frac{5}{12}$
$P(X=1) = frac{18}{36} = frac{1}{2}$
$P(X=2) = frac{3}{36} = frac{1}{12}$
Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины $X$.
Математическое ожидание:
$M(X) = 0 cdot P(X=0) + 1 cdot P(X=1) + 2 cdot P(X=2) = 0 cdot frac{5}{12} + 1 cdot frac{1}{2} + 2 cdot frac{1}{12} = frac{1}{2} + frac{1}{6} = frac{2}{3}$
Дисперсия:
$D(X) = M(X^2) – (M(X))^2$
Значение $M(X^2)$ можно найти следующим образом:
$M(X^2) = 0^2 cdot P(X=0) + 1^2 cdot P(X=1) + 2^2 cdot P(X=2) = 0^2 cdot frac{5}{12} + 1^2 cdot frac{1}{2} + 2^2 cdot frac{1}{12} = frac{1}{2} + frac{1}{3} = frac{5}{6}$
Тогда:
$D(X) = M(X^2) – (M(X))^2 = frac{5}{6} – left(frac{2}{3}right)^2 = frac{5}{6} – frac{4}{9} = frac{1}{18}$
Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ будет иметь вид:
$P(X=0) = frac{5}{12}$
$P(X=1) = frac{1}{2}$
$P(X=2) = frac{1}{12}$
Математическое ожидание $M(X) = frac{2}{3}$
Дисперсия $D(X) = frac{1}{18}$
Чтобы построить многоугольник распределения, на координатной оси откладываем значения 0, 1, и 2 на оси ординат откладываем значения вероятностей соответствующих выпадения конкретного числа неисправных телевизоров. Затем соединяем полученные точки, получая многоугольник