Для анализа устойчивости данной системы линейных дифференциальных уравнений, мы можем использовать функцию Ляпунова. Функция Ляпунова – это дифференцируемая функция V(x, y), для которой выполняются два условия:
1) V(x, y) > 0 для всех (x, y), кроме (0, 0)
2) dV/dt < 0 для всех (x, y), кроме (0, 0)
Давайте рассмотрим возможную функцию Ляпунова:
V(x, y) = x^2 + y^2
Чтобы убедиться, что эта функция является функцией Ляпунова, давайте проанализируем ее производную по времени:
dV/dt = d(x^2 + y^2)/dt = 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt)
= 2x(4y – 3x) + 2y(2y – 2x)
= 8xy – 6x^2 + 4y^2 – 4xy
= 4xy – 6x^2 + 4y^2
Мы видим, что dV/dt не всегда отрицательна, поэтому эта функция Ляпунова не подходит для доказательства устойчивости данной системы.
Давайте попробуем использовать другую функцию.
V(x, y) = x^2 -xy + y^2
Теперь посчитаем производную этой функции по времени:
dV/dt = d(x^2 – xy + y^2)/dt = 2x(dx/dt) – x(dy/dt) + 2y(dy/dt)
= 2x(4y – 3x) – x(2y – 2x) + 2y(2y – 2x)
= 8xy – 6x^2 – 2xy + 2x^2 + 4y^2 – 4xy
= 2x^2 – 8xy + 4y^2
Мы видим, что dV/dt всегда отрицательна, и она равна нулю только в точке (0, 0). Это означает, что функция V(x, y) = x^2 – xy + y^2 является функцией Ляпунова, и поэтому система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива.