Для доказательства данного выражения, давайте рассмотрим произвольную матрицу А размерности n × m.
Пусть B = A^T, то есть матрица B получается из матрицы А транспонированием ее элементов. Таким образом, матрица B будет размерности m × n.
Теперь необходимо проверить, является ли матрица B симметрической.
Матрица B является симметрической, если она равна своему собственному транспонированию, то есть B = B^T.
Для проверки этого условия, необходимо сравнить каждый элемент матрицы B с соответствующим элементом ее транспонирования.
Рассмотрим произвольный элемент B[i, j] матрицы B, где i – номер строки, j – номер столбца.
Так как B = A^T, то B[i, j] = A[j, i] (элемент матрицы B равен элементу матрицы A с индексами i и j).
Сравниваем элемент B[i, j] с соответствующим элементом B[j, i] транспонированной матрицы B. То есть B[i, j] = B^T[j, i].
Из этого можно сделать вывод, что элементы Б[i, j] = A[j, i] равны элементам B[j, i] = A[i, j].
Таким образом, мы убедились, что каждый элемент матрицы B равен соответствующему элементу ее транспонирования, и поэтому матрица B является симметрической.
Таким образом, мы показали, что для любой произвольной матрицы A, транспонированная матрица A^T является симметрической.