Для начала найдем первую производную функции z относительно x:
dz/dx = (cos(x-y)*x – sin(x-y))/x^2
Затем найдем вторую производную функции z относительно y:
(d^2)z/d(y^2) = cos(x-y)/x
Теперь подставим найденные значения производных в уравнение:
(d/dx)*((x^2)*(dz/dx))-((x^2)*((d^2)z/d(y^2))) = (d/dx)(x^2*(cos(x-y)*x – sin(x-y))/x^2) – x^2*cos(x-y)/x
Упростим выражение:
= cos(x-y)*x – sin(x-y) – cos(x-y)*x
= -sin(x-y)
Полученное выражение -sin(x-y) равно нулю, так как это значение функции sin при аргументе x-y, равном нулю.
Таким образом, мы показали, что функция z = sin(x-y)/x удовлетворяет уравнению (d/dx)*((x^2)*(dz/dx))-((x^2)*((d^2)z/d(y^2))) = 0.