Функция y = 1/x^2 – 4x + 3 является рациональной функцией вида f(x) = p(x)/q(x), где p(x) = 1, q(x) = x^2 – 4x + 3.
1. Найдем область определения функции. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то решим уравнение q(x) = 0:
x^2 – 4x + 3 = 0
Факторизуя его, получим (x – 1)(x – 3) = 0, откуда имеем два корня: x = 1 и x = 3.
Областью определения функции является интервал (-беск., 1) объединенный с интервалом (1, 3) объединенным с интервалом (3, +беск.).
2. Найдем производные функции. Для этого раскроем функцию в виде суммы двух дробей:
y = 1/(x^2 – 4x + 3) = 1/((x – 1)(x – 3)) = A/(x – 1) + B/(x – 3),
где A и B – неизвестные коэффициенты.
Приведя дроби к общему знаменателю и сравнивая числители, получим систему уравнений:
1 = A(x – 3) + B(x – 1) и A + B = 0.
Решая систему, находим A = -1 и B = 1.
Таким образом, имеем функциональное разложение:
y = -1/(x – 1) + 1/(x – 3)
3. Найдем производную функции y. Производная функции f(x) = -1/(x – 1) + 1/(x – 3) выражается через производные каждого члена:
f'(x) = (-1)’/(x – 1) + (-1)(x – 1)’/(x – 1)^2 + (1)’/(x – 3) + (1)(x – 3)’/(x – 3)^2
Раскроем производные и приведем подобные члены:
f'(x) = 1/(x – 1)^2 – 1/(x – 1)^2 + 1/(x – 3)^2 – 1/(x – 3)^2
Сократим и преобразуем:
f'(x) = 0
4. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания/убывания функции.
Так как производная f'(x) равна нулю, нет точек экстремума. Кроме того, так как производная не меняет знак, нет интервалов возрастания/убывания.
5. Найдем точки перегиба функции. Для этого найдем вторую производную:
f”(x) = 2/(x – 1)^3 + 2/(x – 3)^3
Приравниваем вторую производную нулю:
2/(x – 1)^3 + 2/(x – 3)^3 = 0
Решив это уравнение, находим х = 1.5.
Таким образом, точка перегиба функции находится в точке x = 1.5.
6. Исследуем поведение функции на бесконечностях.
– При x -> -беск., функция стремится к нулю.
– При x -> +беск., функция также стремится к нулю.
7. Построим график функции и учтем полученные результаты исследования.
На основе проведенного исследования функции y = 1/x^2 – 4x + 3 можно построить следующий график:
– Функция не определена в точках x = 1 и x = 3.
– Отсутствуют экстремумы и интервалы возрастания/убывания.
– Есть точка перегиба в x = 1.5.
– Функция стремится к нулю при x -> -беск. и x -> +беск.