Для начала, рассмотрим область определения функции. Для функции f(x) = (x^2-1)/(x^2+1) исключаем значения x, при которых знаменатель равен нулю, то есть x^2+1 = 0. Из этого уравнения следует, что x^2 = -1, что не имеет решений в действительных числах. Таким образом, область определения функции f(x) – все действительные числа.
Теперь рассмотрим поведение функции при x → ±∞. Если x стремится к бесконечности, то как x^2-1, так и x^2+1 стремятся к бесконечности. Поэтому отношение этих двух выражений будет стремиться к 1. Это означает, что приближаясь к бесконечности, f(x) будет стремиться к 1.
Далее, найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы это сделать, прировняем числитель к нулю: x^2 – 1 = 0. Отсюда получаем два решения: x = 1 и x = -1. Следовательно, график функции пересекает ось x в точках (1, 0) и (-1, 0).
Найдем также асимптоты функции. Для этого рассмотрим предел f(x) при x → ±∞. Но мы уже установили, что при x → ±∞, f(x) стремится к 1. Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту y = 1.
Итак, построим график функции f(x):
– Функция определена на всей числовой прямой, исключая точку x = ±i.
– График пересекает ось x в точках (1, 0) и (-1, 0).
– График имеет горизонтальную асимптоту y = 1.
– Поскольку функция является рациональной, график функции будет гладким и без разрывов.
Вот и все!