Представление в виде произведения Sin(5π/12) + Sin(π/12) требует применения тригонометрических тождеств и формул сложения синусов.
1. Начнем с формулы сложения синусов:
Sin(A + B) = Sin(A)Cos(B) + Cos(A)Sin(B)
2. Применим формулу для A = 5π/12 и B = π/12:
Sin(5π/12 + π/12) = Sin(5π/12)Cos(π/12) + Cos(5π/12)Sin(π/12)
3. Заметим, что Sin(π/12) = Sin(π/12 + π/12) = Sin(π/6), поскольку синус периодичен с периодом 2π.
Также Cos(5π/12) = -Cos(7π/12) и Sin(5π/12) = Sin(7π/12), поскольку синус и косинус – нечетные функции.
4. Теперь можем записать уравнение в виде Sin(5π/12) + Sin(π/12) = Sin(7π/12)Cos(π/12) + Cos(7π/12)Sin(π/12) = Sin(7π/12)Sin(π/6) – Cos(7π/12)Cos(π/6)
5. Используем формулу сложения для косинусов:
-Cos(A – B) = Cos(A)Cos(B) + Sin(A)Sin(B)
6. Подставляем значения A = 7π/12 и B = π/6:
-Cos(7π/12 – π/6) = -Cos(π/4) = -1/√2
7. Окончательно, Sin(5π/12) + Sin(π/12) = Sin(7π/12)Sin(π/6) – Cos(7π/12)Cos(π/6) = Sin(7π/12)Sin(π/6) + 1/√2
Таким образом, произведение Sin(5π/12) + Sin(π/12) равно Sin(7π/12)Sin(π/6) + 1/√2.