Дано уравнение:
u′′xx+2u′′xy+u′′yy−2u′x−5u′y−3u+xy=0
Для приведения уравнения к каноническому виду, вычислим дискриминант D:
D = (2^2 – 4*1*1) = 0
Так как D = 0, уравнение является вырожденным. Выполним следующие шаги, чтобы привести его к каноническому виду:
1. Введем новые переменные: x’ = x – y и y’ = x + y. Тогда замена u(x,y) = v(x’, y’) даст нам новое уравнение:
v′′x’x’ + v′′x’y’ + v′′y’y’ – 7v’x’ – v’y’ – v(x’, y’) + (x’+y’)^2 = 0
2. Заменим производные в новом уравнении по правилам цепочки:
v′x’ = v′x’v′x + v′y’v′x
v′y’ = v′x’v′y + v′y’v′y
3. Заменим производные второго порядка в новом уравнении:
v′′x’x’ = v′′x’x’v′x^2 + 2v′′x’y’v′xv′y’ + v′′y’y’v′y^2 + v′′x’v′x + 2v′′y’v′y
v′′x’y’ = v′′x’x’v′xv′y + v′′x’y’v′xv′x + v′′y’y’v′yv′y + v′′x’v′y + v′′y’v′x
v′′y’y’ = v′′x’x’v′y^2 + 2v′′x’y’v′xv′y’ + v′′y’y’v′x^2 + v′′y’v′y + 2v′′x’v′x
4. Подставим выражения из пункта 3 в новое уравнение:
(v′′x’x’v′x^2 + 2v′′x’y’v′xv′y’ + v′′y’y’v′y^2 + v′′x’v′x + 2v′′y’v′y) +
2(v′′x’x’v′xv′y + v′′x’y’v′xv′x + v′′y’y’v′yv′y + v′′x’v′y + v′′y’v′x) +
(v′′x’x’v′y^2 + 2v′′x’y’v′xv′y’ + v′′y’y’v′x^2 + v′′y’v′y + 2v′′x’v′x) –
7(v′x’v′x + v′y’v′y) – v′y’ – v(x’, y’) + (x’+y’)^2 = 0
5. Выполним несколько преобразований переменных и упростим уравнение:
v′′x’x'(v′x^2 + v′y^2 + v′y’ + 2v′x) + v′′x’y'(2v′xv′y + v′x + v′y + 2v′y’) + v′′y’y'(v′x^2 + v′y^2 + v′x’ + 2v′y) –
7(v′x^2 + v′y^2 + 2v′xv′y) – v′y’ – v(x’, y’) + (x’+y’)^2 = 0
6. Упраздним производные второго порядка в уравнении:
(v′x^2 + v′y^2 + v′y’ + 2v′x) + (2v′xv′y + v′x + v′y + 2v′y’) + (v′x^2 + v′y^2 + v′x’ + 2v′y) –
7(v′x^2 + v′y^2 + 2v′xv′y) – v′y’ – v + (x’+y’)^2 = 0
7. Упростим уравнение:
2v′x + 2v′y’ – 7v′x^2 – 7v′y^2 + (3x’ + 2y’ – 1)^2 = 0
Таким образом, уравнение u′′xx+2u′′xy+u′′yy−2u′x−5u′y−3u+xy=0 приведено к каноническому виду 2v′x + 2v′y’ – 7v′x^2 – 7v′y^2 + (3x’ + 2y’ – 1)^2 = 0.