Одним из примеров функции, которая является всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса.
Шаги решения:
1) Функция Вейерштрасса определяется следующим образом:
W(x) = Σ(2^n * cos(3^n * π * x)) / 2^n, где Σ – сумма по всем натуральным n.
2) Функция Вейерштрасса обладает свойствами всюду непрерывной и нигде не дифференцируемой.
3) Для проверки, что функция Вейерштрасса является всюду непрерывной, можно использовать определение непрерывности функции. Функция Вейерштрасса может быть представлена в виде сходящегося ряда, и можно показать, что сумма всех членов ряда является непрерывной функцией.
4) Для проверки, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, можно использовать критерий Липшица. Этот критерий утверждает, что если существует константа K такая, что |f(x) – f(y)| ≤ K * |x – y| для всех x и y, то функция дифференцируема. В случае функции Вейерштрасса невозможно найти такую константу K, поэтому она нигде не дифференцируема.
Таким образом, функция Вейерштрасса является примером функции, которая является всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой.