На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Уравнение кривой у нас имеет вид 8х^2 + 2у^2 + 8х + 4у — 1 = 0. Чтобы привести его к каноническому виду, нужно избавиться от линейных членов и целой части.
1. Сначала мы группируем члены с “х” и “у”: (8х^2 + 8х) + (2у^2 + 4у) = 1.
2. Далее, для получения канонического вида нам понадобится разделить все коэффициенты на общий коэффициент перед “х^2” и “у^2”, чтобы привести их к 1. В нашем случае это будет делить на 8: (х^2 + х) + 1/4(у^2 + 2у) = 1/8.
3. Теперь мы можем сгруппировать члены по квадратам: x(x + 1) + 1/4y(y + 2) = 1/8.
4. Чтобы отделить квадраты от линейных членов, мы выносим коэффициенты перед квадратами за скобки: (x + 1/2)^2 + 1/4(y + 1)^2 = 1/8 + 1/4.
5. Приводим правую часть к общему знаменателю, получаем (x + 1/2)^2 + 1/4(y + 1)^2 = 3/8.
6. Уравнение приведено к каноническому виду, где центр кривой находится в точке (-1/2, -1/2) или просто (-0.5, -0.5).
Теперь можем определить тип кривой. В нашем уравнении коэффициенты при x^2 и y^2 одинаковые и положительные, что указывает на то, что это уравнение эллипса. Поскольку коэффициенты у x^2 и y^2 равны, то это короткоформатный эллипс (1).
Теперь найдем координаты фокусов. В общем случае, координаты фокусов эллипса можно найти с помощью формулы: c^2 = a^2 – b^2, где c – расстояние от центра эллипса до фокуса, а a и b – полуоси эллипса.
Зная, что у нас короткоформатный эллипс и зная длины полуосей a и b, мы можем выразить c:
c = sqrt(a^2 – b^2).
В нашем примере коэффициент “a” равен 1/ √((3/8)), а коэффициент “b” равен 1/2. Подставив значения, получаем:
c = sqrt((1/ √((3/8)))^2 – (1/2)^2) = sqrt(1/3 – 1/4) = sqrt(1/12) = 1/(2√3).
Теперь можем найти координаты фокусов, которые лежат на главной оси эллипса, где центр эллипса находится в точке (-0.5, -0.5). Заметим, что фокусы симметричны относительно центра, поэтому мы можем найти один фокус F1(-0.5 + 1/(2√3), -0.5) = (1/(2√3) – 0.5, -0.5). Другой фокус будет находиться в симметричной точке F2(-0.5 – 1/(2√3), -0.5) = (-1/(2√3) – 0.5, -0.5).
Таким образом, ответ на задачу:
а) тип кривой: эллипс (1)
б) сумма абсцисс фокусов: (1/(2√3) – 0.5) + (-1/(2√3) – 0.5) = -1
в) сумма ординат фокусов: -0.5 + (-0.5) = -1.
