Для начала воспользуемся формулой для производной функции “степень”:
d/dx (x^n) = nx^(n-1)
У нас функция вида Y = sin^3 x, поэтому можем записать её в виде:
Y = (sin x)^3
Теперь продифференцируем по переменной x постепенно:
dY/dx = d/dx ((sin x)^3)
Воспользуемся формулой для производной функции “композиция”:
d/dx (u^n) = nu^(n-1) * du/dx
Где u – это функция внутри скобок, а du/dx – её производная по переменной x.
В нашем случае, u = sin x, а du/dx = d/dx (sin x) = cos x.
Подставим эти значения в формулу:
dY/dx = 3(sin x)^(3-1) * cos x
Упростим выражение:
dY/dx = 3(sin x)^2 * cos x
Таким образом, производная функции Y = sin^3 x равна 3(sin x)^2 * cos x.
Шаги решения:
1. Запишите функцию в виде Y = (sin x)^3.
2. Продифференцируйте функцию по переменной x, используя формулу для производной “композиция”.
3. Подставьте значения в формулу и упростите выражение.
4. Получите ответ: Y’ = 3(sin x)^2 * cos x.