Для решения этой задачи нам потребуется применить правило дифференцирования функции, которая определена как корень квадратный от полинома.
1. Вначале найдем производную полинома внутри корня. Для этого вычислим коэффициенты производной по каждому члену.
Функция внутри корня: f(x) = -x^2 + 5x – 4
Производная первого члена: (d/dx) (-x^2) = -2x
Производная второго члена: (d/dx) (5x) = 5
Производная третьего члена: (d/dx) (-4) = 0
2. Теперь найдем производную корня квадратного, используя правило дифференцирования корня.
(d/dx) sqrt(f(x)) = (1/2) * (1/sqrt(f(x))) * f'(x)
где f'(x) – производная функции внутри корня
Применяем правило дифференцирования корня к каждому члену:
(d/dx) sqrt(-x^2 + 5x – 4) = (1/2) * (1/sqrt(-x^2 + 5x – 4)) * (-2x + 5)
3. Теперь подставим значения x = 1 и x = 4 в выражение для производной, чтобы получить окончательные ответы.
При x = 1:
(d/dx) sqrt(-1^2 + 5*1 – 4) = (1/2) * (1/sqrt(-1^2 + 5*1 – 4)) * (-2*1 + 5) = (1/2) * (1/sqrt(-1 + 5 – 4)) * (3) = 3/2
При x = 4:
(d/dx) sqrt(-4^2 + 5*4 – 4) = (1/2) * (1/sqrt(-4^2 + 5*4 – 4)) * (-2*4 + 5) = (1/2) * (1/sqrt(-16 + 20 – 4)) * (-3) = -3/2
Таким образом, производная функции sqrt(-x^2 + 5x – 4) при 1 < x < 4 равна 3/2 при x = 1 и -3/2 при x = 4.