Дана функция y = (x^2a) / (x – b), где a = -3 и b = 1. Давайте проведем полное исследование этой функции и построим ее график.
Шаг 1: Найдем область определения функции.
Так как в знаменателе функции есть выражение (x – b), необходимо исключить значения x, при которых x – b = 0. В данном случае, когда b = 1, уравнение x – 1 = 0 имеет решение x = 1. Таким образом, область определения функции – это все вещественные числа, кроме x = 1.
Шаг 2: Найдем производную функции.
Для этого возьмем производную от правой части y = (x^2a) / (x – b) по x, используя правило производной частного и правило производной степенной функции. Получим:
y’ = ((2ax * (x – b)) – (x^2a * 1)) / ((x – b) ^ 2)
= (2ax^2 – 2abx – x^2a) / (x^2 – 2bx + b^2)
Шаг 3: Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки).
Найдем значения x, для которых y’ = 0. Решим уравнение:
2ax^2 – 2abx – x^2a = 0
Факторизуем это уравнение:
x (2ax – 2ab – xa) = 0
Отсюда получаем два решения:
x = 0 или x = (2ab) / (2a – 1)
Шаг 4: Изучаем поведение функции на интервалах.
Разобьем интервалы на основе найденных критических точек и области определения функции.
– Если x < 0, то y' < 0, следовательно функция убывает на этом интервале.
- Если 0 < x < (2ab) / (2a - 1), то y' > 0, следовательно функция возрастает на этом интервале.
– Если x > (2ab) / (2a – 1), то y’ < 0, следовательно функция убывает на этом интервале (при условии, что b < a).
Шаг 5: Найдем точки экстремума и исследуемую точку разрыва.
- Так как a = -3, b = 1 и x ≠ 1, то x = (2ab) / (2a - 1) равняется -2.
- Исследуемая точка разрыва: x = 1.
Шаг 6: Найдем значения функции в критических точках и точке разрываю
Подставим значения x = 0, x = -2 и x = 1 в исходную функцию y = (x^2a) / (x - b).
Получим следующие значения:
- y(0) = (0^2 * -3) / (0 - 1) = 0
- y(-2) = ((-2)^2 * -3) / (-2 - 1) = 12
- y(1) = ((1)^2 * -3) / (1 - 1) = функция не определена (разрыв). В этой точке является устранимым разрывом.
Шаг 7: Построим график функции.
Используя полученные значения и информацию о поведении функции на интервалах, построим график функции y = (x^2a) / (x - b). Учтем разрыв в точке x = 1.
Мы провели полное исследование функции y = (x^2a) / (x - b) при a = -3 и b = 1, построили ее график и определили основные характеристики функции.