Данная функция выражена в виде рациональной функции и имеет вид у=(х-1)(х-2)/х.
Шаги решения:
1. Найдем область определения функции. В данном случае, функция определена для всех значений х, кроме х=0, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение: (х-1)(х-2)=0.
Таким образом, имеем две точки пересечения: х=1 и х=2.
3. Посмотрим на поведение функции при стремлении х к положительной и отрицательной бесконечностям. Для этого рассмотрим пределы функции при х -> +- ∞.
В данном случае, при х -> +- ∞ функция у=(х-1)(х-2)/х сокращается до функции у=х-2.
Исходя из этого, можно сказать, что график функции будет стремиться к прямой у=х-2 на бесконечности.
4. Найдем асимптоты функции. Для этого рассмотрим пределы функции при х -> 0 и х -> +- ∞.
При х -> 0, функция у=(х-1)(х-2)/х принимает значение -∞, следовательно, у=0 – вертикальная асимптота.
При х -> +- ∞, функция у=(х-1)(х-2)/х следует прямой у=х-2, следовательно, у=х-2 – наклонная асимптота.
5. Найдем точки экстремума функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у’=(х-3)/х^2=0.
Найдем х: х-3=0 -> х=3.
Таким образом, функция имеет одну точку экстремума при х=3.
6. Исследуем поведение функции на интервалах между особыми точками и точками экстремума с помощью таблицы знаков производной.
Интервалы: от (-∞, 0), от (0, 1), от (1, 2), от (2, 3), от (3, +∞).
Для каждого интервала найдем знак производной и определим поведение функции на этом интервале.
7. Строим график функции, используя все полученные результаты. Обозначим на графике основные точки: точки пересечения с осями, экстремум, асимптоты.
Таким образом, проводя полное исследование и строя график, мы получим полную информацию о данной функции.