Для решения задачи нужно сначала найти многочлен Тейлора второго порядка для функции f(x)=1/(8-x) в точке x0 = -2.
Шаг 1: Вычислим производные функции f(x) до второго порядка:
f'(x) = 1/(8-x)^2,
f”(x) = 2/(8-x)^3.
Шаг 2: Найдем значение производных в точке x0 = -2:
f'(-2) = 1/(8-(-2))^2 = 1/36,
f”(-2) = 2/(8-(-2))^3 = 2/64 = 1/32.
Шаг 3: Напишем многочлен Тейлора второго порядка (T2(x)) в точке x0 = -2:
T2(x) = f(-2) + f'(-2)*(x – (-2)) + (f”(-2)/2)*(x – (-2))^2.
Шаг 4: Подставим значение x = 3.0 в многочлен Тейлора T2(x):
T2(3.0) = f(-2) + f'(-2)*(3.0 – (-2)) + (f”(-2)/2)*(3.0 – (-2))^2.
Шаг 5: Вычислим значения и подставим их в формулу:
f(-2) = 1/(8-(-2)) = 1/10,
f'(-2) = 1/36,
f”(-2) = 1/32.
T2(3.0) = 1/10 + (1/36)*(3.0 – (-2)) + (1/32/2)*(3.0 – (-2))^2.
Шаг 6: Упростим выражение:
T2(3.0) = 1/10 + 1/36*5 + 1/64/2*5^2.
T2(3.0) = 1/10 + 5/36 + 5/64.
Шаг 7: Приведем все дроби к общему знаменателю и сложим:
T2(3.0) = (64/640 + 225/640 + 160/640) / 10.
T2(3.0) = (449/640) / 10.
Шаг 8: Разделим числитель на знаменатель:
T2(3.0) = 449/6400.
Ответ: Значение многочлена Тейлора второго порядка T2(3.0) равно 449/6400.