Дано:
Вероятность работы автомата (успеха) p = 0,98.
Количество наборов купюр n = 800.
Погрешность (абсолютное отклонение) ε = 0,03.
Нам нужно найти вероятность того, что отклонение частости работы автомата от вероятности не превышает заданной погрешности.
Шаги решения:
1. Используя теорему Бернулли, находим математическое ожидание для биномиального распределения:
μ = np = 800 * 0,98 = 784.
2. Находим дисперсию для биномиального распределения:
σ^2 = np(1-p) = 800 * 0,98 * (1-0,98) = 15,36.
3. Найдём стандартное отклонение:
σ = √(σ^2) = √(15,36) ≈ 3,92.
4. Найдем значения, при которых отклонение от вероятности в обоих случаях будет составлять 0,03:
α = p – ε = 0,98 – 0,03 = 0,95,
β = p + ε = 0,98 + 0,03 = 1,01.
5. Поскольку нам нужно определить вероятность, что частота правильной работы автомата будет в указанном интервале, нам нужно найти вероятность P(α < X < β), где X - количество правильных наборов. 6. Чтобы найти эту вероятность, мы можем использовать нормальное распределение, так как n больше 30 и исходное распределение близко к нормальному. Если бы n было меньше 30, мы использовали бы распределение Стьюдента. 7. Найдем значения Z-критерия для α и β, разделив разность отклонения на стандартное отклонение: Zα = (α - p) / σ = (0,95 - 0,98) / 3,92 ≈ -0,08, Zβ = (β - p) / σ = (1,01 - 0,98) / 3,92 ≈ 0,08. 8. Найдем вероятность P(Zα < Z < Zβ) из таблицы стандартного нормального распределения, используя найденные значения Z-критерия. 9. Ответом будет вероятность из шага 8, которая показывает вероятность того, что отклонение частоты работы автомата от вероятности не превышает заданную погрешность. Таким образом, мы можем использовать теорему Бернулли, нормальное распределение и таблицу стандартного нормального распределения, чтобы оценить вероятность того, что при использовании 800 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от её вероятности не превысит по абсолютной величине 0,03.