Для разложения функции e^x в ряд по степеням (x-4) воспользуемся формулой Тейлора.
Шаги решения:
1. Найдем значения n-ой производной функции e^x:
f^(n)(x) = e^x, где f^(n)(x) – это n-ая производная функции e^x.
Так как все производные функции e^x равны самой функции e^x, то f^(n)(x) = e^x для любого n.
2. Найдем значения производных функции e^x в точке x = 4.
f^(n)(4) = e^4 = A, где A – это число, равное e^4.
3. Запишем формулу Тейлора для функции e^x вокруг точки x = 4:
e^x = f(4) + f^(1)(4)*(x-4)/1! + f^(2)(4)*(x-4)^2/2! + f^(3)(4)*(x-4)^3/3! + …
4. Подставим найденные значения производных в формулу Тейлора:
e^x = A + Ae^4*(x-4)/1! + Ae^4*(x-4)^2/2! + Ae^4*(x-4)^3/3! + …
5. Упростим полученное выражение:
e^x = A + Ae^4*(x-4) + Ae^4*(x-4)^2/2 + Ae^4*(x-4)^3/6 + …
Таким образом, функция e^x разложена в ряд по степеням (x-4) следующим образом:
e^x = A + Ae^4*(x-4) + Ae^4*(x-4)^2/2 + Ae^4*(x-4)^3/6 + …