Для разложения ряда функции ( cos(x^{3/2}) ) в ряд Маклорена мы будем использовать формулу Тейлора. Перед тем как приступить к разложению, нам понадобится некоторая информация о производных функции ( cos(x^{3/2}) ).
Для этого найдем первую и вторую производные:
( f(x) = cos (x^{3/2}) )
( f'(x) = -frac{3}{2} x^{1/2} sin (x^{3/2}) )
( f”(x) = -frac{3}{2} left(sin (x^{3/2}) + frac{3}{2} x^{1/2} cos (x^{3/2})right) )
Теперь мы можем выписать разложение в ряд Маклорена:
( cos(x^{3/2}) = f(0) + f'(0)x + frac{f”(0)}{2!}x^2 + frac{f”'(0)}{3!}x^3 + ldots )
Подставляя найденные производные, получаем:
( cos(x^{3/2}) = 1 + 0 – frac{3}{2!} x^{1/2} – 0 + frac{9}{2!} left(sin (0) + frac{3}{2} cdot 0 cdot cos (0)right) x – ldots )
Упрощаем:
( cos(x^{3/2}) = 1 – frac{3}{2} x^{1/2} + frac{9}{2!} x – frac{27}{2!} x^{3/2} + ldots )
Таким образом, мы получили разложение ряда функции ( cos(x^{3/2}) ) в ряд Маклорена.