Функция pi-5x определена на отрезке [0, pi]. Чтобы разложить ее в ряд Фурье на этом отрезке, мы должны найти коэффициенты разложения.
Начнем с расчета первого коэффициента, который называется постоянным членом a0. Формула для a0 имеет вид:
a0 = (1/pi) * ∫[0, pi] (pi – 5x)dx.
Вычислим интеграл:
a0 = (1/pi) * [pi * x – (5/2) * x^2] evaluated from 0 to pi.
a0 = (1/pi) * [pi * pi – (5/2) * pi^2 – 0 – 0].
a0 = 1 – (5/2) * pi.
Теперь рассмотрим расчет коэффициентов sin(nx) и cos(nx). Формулы для них имеют вид:
an = (2/pi) * ∫[0, pi] (pi – 5x) * cos(nx) dx,
bn = (2/pi) * ∫[0, pi] (pi – 5x) * sin(nx) dx.
Интегрируя по частям, можно получить следующие выражения:
an = (2/pi) * [(pi – 5x) * (sin(nx)/n)] evaluated from 0 to pi,
bn = -(2/pi) * [(pi – 5x) * (cos(nx)/n)] evaluated from 0 to pi.
Вычислим их значения:
an = (2/pi) * [(pi – 5 * pi) * (sin(pi * n)/n) – (0 – 5 * sin(0)/n)].
an = -10 * (sin(pi * n)/n).
bn = -(2/pi) * [(pi – 5 * pi) * (cos(pi * n)/n) – (0 – 5 * cos(0)/n)].
bn = -10 * (cos(pi * n)/n).
Таким образом, разложение функции pi-5x в ряд Фурье на отрезке [0, pi] имеет вид:
(pi – 5x) = (1 – (5/2) * pi) + Σ[-10 * (sin(n * pi) / n) * cos(n * x) – 10 * (cos(n * pi) / n) * sin(n * x)].
Где Σ означает сумму от n = 1 до бесконечности. Это ряд Фурье для данной функции.