Для решения этих уравнений воспользуемся свойствами экспонент:
1. Перепишем первое уравнение:
2^2 • 2^-x – 2^x • 2^-1 = 1.
Перепишем все слагаемые с общим основанием 2 в одной дроби:
4 • 2^-x – 2^x • 2^-1 = 1.
Упростим дроби, используя экспоненциальные свойства:
4/2^x – 2^x/2 = 1.
4/2^x – 2^(x-1) = 1.
2. Перепишем второе уравнение:
3^1 • 3^-x – 3^x = 2.
3/3^x – 3^x = 2.
3/3^x – 3^x/1 = 2.
3/3^x – 3^x = 2.
Теперь у нас есть два уравнения:
4/2^x – 2^(x-1) = 1,
3/3^x – 3^x = 2.
Чтобы решить их, введем замену: пусть y = 2^x.
Тогда первое уравнение станет:
4/y – y/2 = 1,
а второе уравнение:
3/y – y = 2.
Решим это систему уравнений:
4/y – y/2 = 1 ⇒ 8/y – y = 2 ⇒ 8 – y^2 = 2y ⇒ y^2 + 2y – 8 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
(y + 4)(y – 2) = 0,
из чего следует, что y = -4 или y = 2.
Подставим найденные значения y обратно в наше уравнение:
1) y = -4:
2^x = -4 ⇒ нет решений, так как 2^x не может быть отрицательным числом.
2) y = 2:
2^x = 2.
Теперь можем применять логарифмы:
x = log_2(2),
x = 1.
Итак, решение задачи: x = 1.