Дано дифференциальное уравнение: 2y’ + y^4 + 3xy’ = 0.
Чтобы решить его, воспользуемся методом разделяющих переменных.
1. Разделим уравнение на y^4:
(2/y^4) y’ + 1 + (3x/y^4) y’ = 0.
2. Обозначим y’ как dy/dx, получим:
(2/y^4) dy/dx + 1 + (3x/y^4) dy/dx = 0.
3. Вынесем dy/dx за скобки:
dy/dx (2/y^4 + 3x/y^4) = -1.
4. Упростим выражение в скобках:
dy/dx (2+3x)/y^4 = -1.
5. Перенесем dx в другую сторону и разделим на (2+3x) и на -1:
(2+3x) dy/y^4 = dx.
6. Проинтегрируем обе части уравнения по соответствующим пределам:
∫(2+3x) dy/y^4 = ∫dx.
7. Проинтегрируем левую часть уравнения:
∫(2+3x) dy/y^4 = ∫dx.
Ответ: -y^-3 – 3/2y^-2 + C1 = x + C2, где C1 и C2 – произвольные константы.
Итак, решение данного дифференциального уравнения:
-y^(-3) – 3/2y^(-2) = x + C, где C – произвольная константа.