Для решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем его характеристическое уравнение.
Характеристическое уравнение определяется следующим образом: заменяем производные в дифференциальном уравнении на соответствующие символы и приравниваем его к нулю. Таким образом, наше характеристическое уравнение будет иметь вид:
r^2 – 2r + 2 = 0,
где r – неизвестная переменная.
Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:
D = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4*1*2 = 4 – 8 = -4.
Так как дискриминант D < 0, то у нас есть два комплексных корня: r = (-b +- sqrt(D)) / (2a) = (2 +- sqrt(4)*i) / 2 = (2 +- 2i) / 2, r1 = 1 + i, r2 = 1 - i. Теперь у нас есть два комплексных корня характеристического уравнения. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: y(x) = C1*e^(r1*x) + C2*e^(r2*x), где C1 и C2 - произвольные постоянные. Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: y(x) = C1*e^((1+i)*x) + C2*e^((1-i)*x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.