Для решения данного неопределенного интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:
∫u*dv = u*v – ∫v*du,
где u и v – функции переменной x, которые мы выбираем таким образом, чтобы получить производные dу и dv аналитически удобными.
Шаги решения:
1. Разложим исходное выражение на произведение двух функций: u = x^2 + 2x и dv = sin(3x)dx.
2. Вычислим производные dv и du: du = (2x + 2)dx и v = (-1/3)cos(3x).
3. Применим формулу интегрирования по частям:
∫(x^2 + 2x)sin(3x)dx = (-1/3)x^2*cos(3x) – (-1/3)∫(2x + 2)cos(3x)dx.
4. Выполним интегрирование второго слагаемого с использованием интеграла от косинуса:
∫(2x + 2)cos(3x)dx = ∫(2x*cos(3x)dx) + ∫(2*cos(3x)dx).
5. Используем метод интегрирования по частям для первого слагаемого:
∫(2x*cos(3x)dx) = (2/3)x*sin(3x) – (2/3)∫sin(3x)dx.
6. Интегрируем второе слагаемое:
∫(2*cos(3x)dx) = (2/3)*cos(3x).
7. Подставим значения интегралов обратно в исходное уравнение и объединим все слагаемые:
(-1/3)x^2*cos(3x) – (-1/3) * [(2/3)x*sin(3x) – (2/3)*cos(3x)] + C,
где C – постоянная интегрирования.
8. Упростим и окончательно запишем решение:
(-1/3)x^2*cos(3x) + (2/9)x*sin(3x) + (2/9)*cos(3x) + C.
Таким образом, решение данный неопределенный интеграл равен:
(-1/3)x^2*cos(3x) + (2/9)x*sin(3x) + (2/9)*cos(3x) + C.