Чтобы решить это неравенство, нужно найти интервалы значений переменной x, при которых неравенство выполняется.
Шаг 1: Найдем все значения, при которых выражение (х + 3)(1 – x)(x + 6)² равно нулю. Для этого приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:
x + 3 = 0 => x = -3
1 – x = 0 => x = 1
x + 6 = 0 => x = -6
Шаг 2: Нарисуем числовую ось и отметим найденные значения -3, 1 и -6 на ней.
Шаг 3: Разделим числовую ось на четыре интервала, ограниченных найденными значениями:
-∞ | -6 | -3 | 1 | +∞
Шаг 4: Возьмем по одной точке из каждого интервала и проверим, как знак меняется при подстановке их в исходное неравенство.
-∞: возьмем x = -10
(-10 + 3)(1 – (-10))(-10 + 6)² = (-7)(11)(4) = -308 < 0
-6: возьмем x = -5
(-5 + 3)(1 - (-5))(-5 + 6)² = (-2)(6)(1) = -12 < 0
-3: возьмем x = 0
(0 + 3)(1 - 0)(0 + 6)² = (3)(1)(36) = 108 > 0
1: возьмем x = 2
(2 + 3)(1 – 2)(2 + 6)² = (5)(-1)(64) = -320 < 0
+∞: возьмем x = 10
(10 + 3)(1 - 10)(10 + 6)² = (13)(-9)(256) = -29952 < 0
Шаг 5: Значения знака представлены в таблице:
-∞ | -6 | -3 | 1 | +∞
- | - | + | - | -
Шаг 6: Исходя из таблицы, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -6) и (1, +∞), так как в этих интервалах значения выражения больше или равны нулю.
Итак, решение данного неравенства будет:
x ∈ (-∞, -6) ∪ (1, +∞)