Решить предел lim(x->0) (arcsin x)^tgx.Неопределённости вида ,0^0 обычно приводят к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования. Приведи предел к виду 0/0,либо бесконечность на бесконечность и реши с помощью правила Лопиталя

Итак, у нас есть предел lim(x->0) (arcsin x)^tgx.

Чтобы привести предел к более удобному виду, мы можем воспользоваться логарифмированием. Так как (arcsin x) генерирует значения в интервале [-π/2, π/2], а tgx может принимать любые значения, кроме кратных π/2, мы можем взять натуральный логарифм от обеих сторон предела:

ln(lim(x->0) (arcsin x)^tgx) = ln(lim(x->0) e^(tgx * ln(arcsin x))).

Теперь мы можем использовать свойство логарифма: ln(a^b) = b * ln(a), чтобы вынести показатель тангенса перед логарифмом:

ln(lim(x->0) e^(tgx * ln(arcsin x))) = lim(x->0) (tgx * ln(arcsin x)).

Теперь мы получили предел, который уже легче решить с помощью правила Лопиталя. Мы можем применить это правило, так как предел отношения функций тангенса и натурального логарифма равен 0/0:

lim(x->0) (tgx * ln(arcsin x)) = lim(x->0) (ln(arcsin x) / (1/cos^2x)).

Теперь воспользуемся правилом Лопиталя, взяв производные верхней и нижней функции по x:

= lim(x->0) ((1/arcsin x) * (1/sqrt(1-x^2)) * (1 / (-sin^2x))).

Упрощая выражение, получим:

= lim(x->0) (-1 / (arcsin x * sqrt(1-x^2) * sin^2x)).

Теперь подставим x = 0 в полученное выражение:

= -1 / (arcsin(0) * sqrt(1-0^2) * sin^2(0)).

Так как arcsin(0) = 0 и sin(0) = 0, это превращается в:

= -1 / (0 * 1 * 0^2) = -1 / 0, что является бесконечностью.

Таким образом, предел исходной функции равен бесконечности (то есть не существует).

В итоге, предел lim(x->0) (arcsin x)^tgx не существует.

Это решение объясняет все шаги решения задачи, начиная с применения логарифмирования, приведения предела к виду 0/0, и применение правила Лопиталя до получения окончательного результата.