На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения данной системы линейных уравнений, мы будем использовать формулу x = A^(-1) * b, где A – матрица коэффициентов системы, b – вектор свободных членов, x – вектор неизвестных.
Шаги решения:
1. Запишем матрицу коэффициентов A:
A = | 1 3 -1 |
| 3 2 3 |
| 2 4 1 |
2. Найдем определитель матрицы A. Если определитель не равен нулю, то матрица A обратима.
det(A) = 1 * (2*1-4*3) – 3 * (3*1-2*2) + (-1) * (3*4-2*2) = 1 * (-10) – 3 * (-1) + (-1) * (8) = -10 + 3 – 8 = -15
3. Так как определитель матрицы A не равен нулю (det(A) != 0), матрица A обратима.
4. Найдем обратную матрицу A^(-1) по формуле:
A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A), где adj(A) – алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы A (матрица, полученная из определителей миноров исходной матрицы).
Для матрицы A алгебраическое дополнение каждого элемента можно найти следующим образом:
adj(A) = | A11 A12 A13 |
| A21 A22 A23 |
| A31 A32 A33 |
где Aij = (-1)^(i+j) * det(Mij), где Mij – минор элемента aij, то есть определитель матрицы, полученной из исходной путем удаления i-й строки и j-го столбца.
Найдем каждое алгебраическое дополнение и составим матрицу adj(A):
A11 = (-1)^(1+1) * det(M11) = (-1)^(2) * (2*1-3*4) = -1 * (-10) = 10
A12 = (-1)^(1+2) * det(M12) = (-1)^(3) * (2*1-3*4) = 1 * (-10) = -10
A13 = (-1)^(1+3) * det(M13) = (-1)^(4) * (2*3-3*2) = -1 * 0 = 0
A21 = (-1)^(2+1) * det(M21) = (-1)^(3) * (3*1-2*4) = 1 * (-5) = -5
A22 = (-1)^(2+2) * det(M22) = (-1)^(4) * (3*1-2*4) = -1 * (-5) = 5
A23 = (-1)^(2+3) * det(M23) = (-1)^(5) * (3*3-2*2) = -1 * 5 = -5
A31 = (-1)^(3+1) * det(M31) = (-1)^(4) * (3*4-2*1) = -1 * 10 = -10
A32 = (-1)^(3+2) * det(M32) = (-1)^(5) * (3*4-2*1) = -1 * 10 = -10
A33 = (-1)^(3+3) * det(M33) = (-1)^(6) * (3*2-2*3) = 1 * 0 = 0
Таким образом, матрица adj(A) будет равна:
adj(A) = | 10 -10 0 |
| -5 5 -5 |
| -10 -10 0 |
Теперь найдем обратную матрицу A^(-1):
A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A) = (1/(-15)) * | 10 -10 0 |
| -5 5 -5 |
| -10 -10 0 |
= | -10/15 10/15 0 |
| 5/15 5/15 -5/15 |
| 10/15 10/15 0 |
Упростим дроби:
A^(-1) = | -2/3 2/3 0 |
| 1/3 1/3 -1/3 |
| 2/3 2/3 0 |
5. Запишем вектор свободных членов b:
b = | 3 |
| 4 |
| 2 |
6. Перемножим обратную матрицу A^(-1) и вектор свободных членов b:
x = A^(-1) * b = | -2/3 2/3 0 | * | 3 | = | (-2/3)*3 + (2/3)*4 + 0*2 |
| 1/3 1/3 -1/3 | | 4 | | (1/3)*3 + (1/3)*4 + (-1/3)*2 |
| 2/3 2/3 0 | | 2 | | (2/3)*3 + (2/3)*4 + 0*2 |
= | -2 + 8/3 + 0 |
| 1 + 4/3 – 2/3 |
| 2 + 8/3 + 0 |
= | 2/3 |
| 11/3 |
| 14/3 |
Таким образом, решение системы уравнений будет:
x1 = 2/3
x2 = 11/3
x3 = 14/3
Итак, решение системы линейных уравнений:
x1 = 2/3
x2 = 11/3
x3 = 14/3
