Для начала представим данную систему в матричной форме:
[2 -3 1] [x] [2]
[1 5 -4] [y] = [-5]
[4 1 -3] [z] [-4]
Для решения системы матричным способом нам необходимо найти обратную матрицу к матрице коэффициентов системы и умножить её на столбец свободных членов. Итак, начнем:
1. Найдем определитель матрицы коэффициентов. Для этого вычислим определитель следующим образом:
Det = |2 -3 1|
|1 5 -4|
|4 1 -3|
Применим правило разложения по первому столбцу:
Det = 2 * (5 * (-3) – (-4) * 1) – (-3) * (1 * (-3) – (-4) * 4) + 1 * (1 * 1 – 4 * 5)
= 2 * ( -15 – (-4)) – (-3) * ( -3 – (-16)) + 1 * (1 – 20)
= 2 * (-11) – (-3) * (13) + 1 * (-19)
= -22 + 39 – 19
= -2
2. Проверим условие существования обратной матрицы:
Если Det ≠ 0, то матрица коэффициентов является невырожденной, и обратная матрица существует.
В нашем случае Det = -2 ≠ 0, поэтому можем продолжать.
3. Найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы коэффициентов.
Матрица алгебраических дополнений A* будет иметь вид:
[17 1 19]
[ -3 2 0]
[ -3 8 2]
4. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений A*^T:
A*^T =
[17 -3 -3]
[ 1 2 8]
[19 0 2]
5. Найдем обратную матрицу A^(-1) путем деления транспонированной матрицы алгебраических дополнений на определитель матрицы коэффициентов:
A^(-1) = (1 / Det) * A*^T =
(1 / -2) *
[17 -3 -3]
[ 1 2 8]
[19 0 2]
6. Умножим обратную матрицу A^(-1) на столбец свободных членов:
[x] (1 / -2) * [17 -3 -3] [2]
[y] = [ 1 2 8] * [-5]
[z] [19 0 2] [-4]
Упростим это выражение:
[x] (1 / -2) * [2*(-3) – (-3)*(-5) ] [2] [ 6 + 15 + 6 ] [ 27]
[y] = [2*2 – (-3)*(-4) + 8*(-5) ] *[-5] = [ 4 + 12 – 40] = [-24]
[z] [2*19 – (-3)*(-4) ] [-4] [38 – 12 – 0] [26]
7. Получаем решение системы:
x = 27
y = -24
z = 26
Итак, получили численное решение данной системы уравнений при помощи матричного метода.