Дано уравнение: cos(2x) – 1 = 0.
Для начала заметим, что уравнение содержит косинус двойного угла. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность для косинуса двойного угла, которая гласит:
cos(2x) = 2cos^2x – 1.
Заменим cos(2x) в исходном уравнении на полученное выражение:
2cos^2x – 1 – 1 = 0.
Упростим уравнение:
2cos^2x – 2 = 0.
Разделим уравнение на 2:
cos^2x – 1 = 0.
Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cosx. Пусть cosx = t, тогда наше уравнение примет следующий вид:
t^2 – 1 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
(t – 1)(t + 1) = 0.
Отсюда получаем два возможных значения для t:
1) t – 1 = 0, т.е. t = 1;
2) t + 1 = 0, т.е. t = -1.
Теперь вернемся к определению t = cosx. Решим уравнения для каждого из возможных значений t:
1) cosx = 1. Данный случай будет иметь место, когда x = 2πk, где k – целое число;
2) cosx = -1. Данный случай будет иметь место, когда x = π + 2πk, где k – целое число.
Таким образом, решениями исходного уравнения cos(2x) – 1 = 0 будут значения x, которые можно записать в виде x = 2πk и x = π + 2πk, где k – целое число.