Рассмотрим каждую абсолютную величину отдельно:
1. |x|.
Если x ≥ 0, то |x| = x.
Если x < 0, то |x| = -x.
2. |x+|x+|x|||*|||.
Отдельно рассмотрим случаи, где внутри модуля находится положительное или отрицательное число.
a) Если внутри модуля положительное число, то получаем |x+|x+|x|||
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
- Если x ≥ 0, то |x+|x+|x||| = x + x + x = 3x.
- Если x < 0, то |x+|x+|x||| = -x + (-x) + (-x) = -3x.
b) Если внутри модуля отрицательное число, то получаем |x+|x+|x|||
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
- Если x ≥ 0, то |x+|x+|x||| = x + x + x = 3x.
- Если x < 0, то |x+|x+|x||| = -x + (-x) + (-x) = -3x.
Таким образом, в любом случае получаем значение 3x.
3. |y|.
Если y ≥ 0, то |y| = y.
Если y < 0, то |y| = -y.
Теперь решим уравнение:
|3x - y - y - y| = 2023
Рассмотрим два случая:
1) 3x - y - y - y ≥ 0:
Тогда 3x - y - y - y = 2023.
Упростим это уравнение:
3x - 3y = 2023.
Делим обе части на 3:
x - y = 674.
Рассмотрим пару решений (x, y), где x - y = 674 и 3x - y - y - y ≥ 0.
Подставим x = 674 + y в уравнение |x| + |y|:
|(674 + y)| + |y| = |674 + y| + |y|.
Если y ≥ 0, то получим 674 + y + y = 674 + 2y.
Если y < 0, то получим 674 + y - y = 674.
В обоих случаях получаем 674 + 2|y|.
Таким образом, для этой пары решений |x| + |y| = 674 + 2|y|.
2) 3x - y - y - y < 0:
Тогда -(3x - y - y - y) = 2023.
Упростим это уравнение:
-3x + 3y = 2023.
Делим обе части на 3:
-x + y = 674.
Рассмотрим пару решений (x, y), где -x + y = 674 и 3x - y - y - y < 0.
Подставим x = y - 674 в уравнение |x| + |y|:
|(y - 674)| + |y| = |y - 674| + |y|.
Если y - 674 ≥ 0, то получим y - 674 + y = 2y - 674.
Если y - 674 < 0, то получим -(y - 674) + y = 674.
В обоих случаях получаем 2y - 674.
Таким образом, для этой пары решений |x| + |y| = 2y - 674.
Теперь найдем минимальное значение |x| + |y|. Для этого сравним значения в случаях 1) и 2).
1) 674 + 2|y|
2) 2y - 674
Из этих двух выражений видно, что минимальное значение будет получено, когда |y| минимально. Как только мы знаем знак y, мы можем выразить |y| как y или -y и подставить его в выражения выше. Так как x, y - целые числа, то минимальное значение |x| + |y| будет достигаться при значениях x и y, которые являются ближайшими целыми числами к 674/3 (потому что x и y должны удовлетворять первым случаем или второму случаю соответственно).
3) Ближайшее целое число к 674/3 - это 225.
Тогда x = 225 - 225 = 0 и y = 225.
|x| + |y| = |0| + |225| = 0 + 225 = 225.
Таким образом, сумма |x| + |y| для пары решений (x, y), при которой величина |x| + |y| минимальна, равна 225.