Дана функция = ² / ( ² − 1). Наша задача – построить график этой функции.
Шаг 1: Найдем точки, где функция не определена. В данной функции переменная не может принимать значения, при которых знаменатель равен нулю. Поэтому нужно решить уравнение ² − 1 = 0. Получаем ² = 1, и это выполняется при = ±1. Таким образом, функция не определена при = ±1.
Шаг 2: Найдем значения функции при → ±∞. Поскольку при → ±∞ функция будет стремиться к пределу, мы можем оценить это поведение. Раскроем деление с помощью делегирования делителя, получим = 1 − 1 / ( ² − 1). При → ±∞, основная часть функции будет определяться делителем 1 / ( ² − 1). Но поскольку ² превосходит 1 для всех значений ≠ ±1, то при → ±∞, этот делитель стремится к нулю. Следовательно, функция на бесконечности будет стремиться к 1 – 1 / 0, что неопределено.
Шаг 3: Найдем значения функции в окрестности точек, где функция определена. Для удобства выберем произвольные значения , которые отличаются от ±1. Например, = 0, = -2 и = 2. Подставим эти значения в функцию и вычислим соответствующие значения . Получаем следующие результаты:
– При = 0: = 0² / (0² − 1) = 0 / (-1) = 0
– При = -2: = (-2)² / ((-2)² − 1) = 4 / (4 – 1) = 4 / 3
– При = 2: = 2² / (2² − 1) = 4 / (4 – 1) = 4 / 3
Шаг 4: Используя найденные точки (0, 0), (-2, 4/3) и (2, 4/3), а также сведения о поведении функции в точках ±∞, можно построить график функции = ² / ( ² − 1). Учтите, что в этих точках график не определен и может быть прерывистым.
На основе этих шагов можно построить график функции = ² / ( ² − 1).