Пусть радиус цилиндра равен R, а высота – H. Тогда объем резервуара можно выразить формулой V = πR²H.
Стоимость материала, идущего на дно, обозначим как C₁, а стоимость материала, идущего на боковые стенки – C₂.
Общая стоимость материала для резервуара будет равна: C = C₁ * S₁ + C₂ * S₂, где S₁ – площадь дна, а S₂ – площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь дна: S₁ = πR²
Площадь боковой поверхности цилиндра: S₂ = 2πRH
Тогда общая стоимость материала C = C₁ * πR² + C₂ * 2πRH.
Поскольку C₁ = 2C₂, можно выразить C₁ через C₂: C₁ = 2C₂.
Заменим C₁ в формуле для C: C = 2C₂ * πR² + C₂ * 2πRH.
Так как нам нужно найти размеры, при которых стоимость будет наименьшей, то необходимо найти минимум функции C относительно переменных R и H.
Для этого найдем частные производные функции C по R и H и приравняем их к нулю.
dC/dR = 4C₂πR + 2C₂πH = 0
dC/dH = 2C₂πR = 0
Из второго уравнения можно получить, что R = 0 или C₂ = 0. Очевидно, что размеры резервуара не могут быть нулевыми, поэтому C₂ = 0.
Подставим C₂ = 0 в первое уравнение и получим 4C₂πR + 2C₂πH = 0, откуда следует, что H = 0.
Это означает, что размеры резервуара должны стремиться к нулю, что невозможно.
Таким образом, нет конкретных размеров резервуара, при которых его стоимость была бы наименьшей.