Пусть заданная точка на линии имеет координаты (x; y).
Нам дано, что расстояние от этой точки до точки A(-1; 0) вдвое меньше расстояния до прямой x = -4.
1. Найдем расстояние от точки (x; y) до точки A(-1; 0) по формуле расстояния между двумя точками:
d_A = sqrt((x – (-1))^2 + (y – 0)^2) = sqrt((x + 1)^2 + y^2).
2. Найдем расстояние от точки (x; y) до прямой x = -4. Поскольку прямая вертикальна, расстояние будет просто разностью абсолютных значений x-координат точек:
d_line = |x – (-4)| = |x + 4|.
3. Также в условии сказано, что расстояние до точки A(-1; 0) вдвое меньше расстояния до прямой.
То есть, d_A = (1/2) * d_line.
Подставим найденные значения расстояний из шагов 1 и 2 в уравнение равенства:
sqrt((x + 1)^2 + y^2) = (1/2) * |x + 4|.
4. Избавимся от квадратного корня, возведя обе части уравнения в квадрат:
(x + 1)^2 + y^2 = (1/4) * (x + 4)^2.
5. Разложим квадраты и приведем подобные члены:
x^2 + 2x + 1 + y^2 = (1/4) * (x^2 + 8x + 16).
6. Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 8x + 16.
7. Упростим уравнение, вычитая из обеих частей выражение x^2 + 8x + 16:
3x^2 + 4y^2 – 12 = 0.
Таким образом, уравнением искомой линии будет 3x^2 + 4y^2 – 12 = 0.