Шаги решения:
1. Начнём с уравнений прямых. Даны две прямые: х + 2у – 9 = 0 и 2х – у + 2 = 0.
2. Найдём точки их пересечения, решив систему из двух линейных уравнений. Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от у члена:
х + 2у – 9 + 2х – у + 2 = 0 + 0
3х – 7 = 0
3х = 7
х = 7/3
Подставим это значение обратно в одно из исходных уравнений для определения у:
2(7/3) – у + 2 = 0
14/3 – у + 2 = 0
у = 14/3 – 2 = 14/3 – 6/3 = 8/3
Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (7/3, 8/3).
3. Теперь нам нужно построить окружность, которая проходит через точку пересечения и касается обеих прямых.
4. Рассмотрим центр окружности — это будет точка O (0, 0), так как окружность проходит через начало координат.
5. Построим радиус окружности, который является перпендикуляром к прямой, соединяющий O и точку пересечения прямых.
6. Найдём уравнение прямой, проходящей через O и точку пересечения прямых. Поскольку O (0, 0), это уравнение будет иметь вид у = kx.
7. Чтобы найти коэффициент k, подставим в уравнение точку пересечения прямых: 8/3 = k(7/3)
Разделяя обе части уравнения на (7/3), получим: k = 8/7.
8. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через O и точку пересечения прямых, будет у = (8/7)x.
9. Радиус окружности равен расстоянию между O (0, 0) и точкой пересечения прямых.
10. Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) может быть найдено по формуле √((x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2).
11. Подставим координаты точки пересечения прямых в эту формулу: радиус = √((0-(7/3))^2 + (0-(8/3))^2) = √(49/9 + 64/9) = √(113/9).
12. Таким образом, уравнение окружности будет (x-0)^2 + (y-0)^2 = (√(113/9))^2.
13. Упростим это уравнение: x^2 + y^2 = 113/9.
14. Ответ: уравнение окружности, проходящей через начало координат и касающейся двух пересекающихся прямых, равно x^2 + y^2 = 113/9.