Задача заключается в нахождении двух положительных чисел, сумма которых равна заданной величине а, таким образом, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
Пусть первое число равно x, а второе число равно а – х (таким образом, сумма чисел равна а). Тогда сумма их кубов может быть выражена следующим образом:
x^3 + (a – x)^3
Задача сводится к поиску минимального значения этого выражения.
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
x^3 + (a – x)^3 = x^3 + a^3 – 3ax^2 + 3a^2x – x^3 = a^3 – 3ax^2 + 3a^2x
Для нахождения минимального значения этого выражения мы можем взять его производную по x и приравнять к нулю:
(d/dx)(a^3 – 3ax^2 + 3a^2x) = -6ax + 3a^2 = 0
Решая это уравнение относительно x, получаем:
6ax = 3a^2
x = a/2
Таким образом, первое число равно a/2, а второе число равно также a/2.
Итак, чтобы сумма кубов двух положительных чисел была наименьшей, эти числа должны быть равны a/2.